分布函数的充要条件：

F(x)为随机变量X的分布函数，其充分必要条件为：

1.非降性

(1)F(x)是一个不减函数

对于任意实数

2.有界性

(2）

从几何上说明，将区间端点x沿数轴无限向左移动（即

)，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即有

;又若将点x无限右移（即

)，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于必然事件，从而趋于概率1，即有

3右连续性

证明：因为 F（x）是单调有界非减函数，所以其任一点x0的右极限F（x0+0）必存在。

为证明右连续，由海涅定理，只要对单调下降的数列

离散性随机变量的分布函数

设离散性随机变量X的分布列为

由概率的可列可加

其中和式是对满足

的一切k求和．离散型随机变量的分布函数是分段函数，

的间断点就是离散型随机变量的各可能取值点，并且在其间断点处右连续．离散型随机变量

的分布函数

的图形是阶梯形曲线．

在的一切有(正)概率的点

，皆有一个跳跃，其跳跃度正好为

取值的概率而在分布函数的任何一个连续点x上，

取值x的概率皆为零。

离散型随机变量的分布律和它的分布函数是相互唯一决定的。它们皆可以用来描述离散型随机变量的统计规律性，但分布律比分布函数更直观简明，处理更方便。因此，一般是用分布律(概率函数)而不是分布函数来描述离散型随机变量。